语言、文字与计算是人类文明的三大标志。特别是计算，计算能力的高下，可以衡量一个民族或地区进步与发展的程度。
人类为了生活、生产、商贸、建设、管理以及各种竞争、斗争、甚至战争的需要，必须解决形形色色的问题，而这种问题的依据与答案，往往都以数值的形式表示出来。因此从远古以来，就发展了源于整数而终于实数复数的数值表示形式及其各种计算的方法，从最简单的加、减、乘、除，到各种方程解法，以及有关的如插值、逼近、收敛、极限、误差估计等等理论与方法。20世纪中叶，出现了计算机，并发展迅猛，不仅使计算能力大幅度提高，而且具有多种特殊功能。这使计算上升为与理论、实验鼎足而立的科研三大主要形式。其中，以单纯的数值为对象的，也于20世纪上升为一门独立的学问，称为计算数学。它与各种其他科学结合，还形成了形形色色诸如计算力学、计算化学等等分支交叉学科，名目繁多。
数学由于理论发展的需要，需使计算形式化、符号化，由此形成了与数值计算有所不同的形式计算或符号计算方法。近来的研究预示，不仅这种计算有助于数学的理论推导，甚至定理的证明也可通过这种计算来实现。初等几何定理的机器证明，即是这方面一个成功的范例。
科学技术的发展要求解决形形色色的问题，由于问题的原始条件或数值与所求答案之间往往用某种形式的方程联系起来，诸如对国民经济与国防安全等利害攸关的各种优化问题、自动控制问题、运筹规划问题等等，最后都将归结为解某种类型方程的问题。因而解各种类型的方程如多项式方程、微分积分方程、差分方程等自然成为数学应予重视的核心部分，而各种方程的解决都无不通过计算这一途径。计算的方法繁多，但大体上说来不外乎两种形式：一是数值计算，又一是符号计算。在计算机上实施时，前者快速，后者精确，但又各有缺点。计算机只能识别有限事物，故对于一般的实数或复数，只能逐步逼近，取适当精度的近似值。因而收敛值无法确定，更无法全部获得。至于符号计算，理论上虽或可获得全部某种形式的精确解答，但往往计算量大，且表达形式往往十分庞大，以至于即使现代的巨型机也难以承受。为此，设计一种混合算法，在计算过程中不时切换两种计算方式，使之既有两种计算之长，又避两种计算之短，应是解决目前计算上困难的一种适当途径。为此应在理论上严格证明在混合计算中以数值代替文字符号时，必须具有一定的稳定性，即在数值稍有偏差时，不致过分失真而使解答面目全非。这将是一个既有理论依据又能实际运用的一个值得考虑的问题。
转载自《21世纪100个交叉科学难题》，科学出版社，2005年1月第一版
